Semplificare uno schema a blocchi vuol dire trasformarlo, passo dopo passo, in un unico blocco con la funzione di trasferimento totale W = Y / R. Servono tre regole base e quattro regole per spostare i nodi.
Regola d'oro: ogni trasformazione deve lasciare uguali i segnali.
Prima i tre simboli. Il blocco moltiplica il segnale per la sua funzione G. Il nodo sommatore (cerchio) somma o sottrae i segnali che entrano, secondo il segno scritto accanto. Il nodo di derivazione (pallino pieno) copia lo stesso segnale su più rami, senza cambiarlo.
G = G₁ · G₂
uno dopo l'altro: si moltiplicano
G = G₁ ± G₂
uno accanto all'altro: si sommano, con il segno del sommatore
W = G1 ± G·H
+ nel denominatore se la retroazione è negativa, − se è positiva. Con retroazione unitaria (H = 1): W = G / (1 ± G)
Andata diviso (1 + giro). L'andata è il prodotto dei blocchi da R a Y; il giro è il prodotto di tutti i blocchi che incontri facendo il giro dell'anello. Se la retroazione è positiva, il + diventa −.
Quando due anelli si incrociano, le regole base non bastano: bisogna spostare un nodo oltre un blocco per separarli. Vale sia per i nodi sommatori sia per i nodi di derivazione.
A valle vuol dire dopo il blocco, nel verso della freccia. A monte vuol dire prima del blocco.
Spostare un nodo cambia il percorso di un segnale, quindi bisogna compensare inserendo un blocco nuovo sul ramo laterale (in rosso negli schemi): G oppure il suo inverso 1/G.
| Nodo da spostare | a valle del blocco G (dopo) | a monte del blocco G (prima) |
|---|---|---|
| Nodo sommatore | Gsul ramo che entra nel sommatore | 1/Gsul ramo che entra nel sommatore |
| Nodo di derivazione | 1/Gsul ramo derivato | Gsul ramo derivato |
Sommatore Avanti → G. Derivazione Avanti → Inverso, cioè 1/G.
Se sposti il nodo indietro (a monte), fai l'opposto. Sommatore e derivazione si comportano sempre al contrario l'uno dell'altro.
Prima Y = (X₁ ± X₂)·G = X₁G ± X₂G. Dopo lo spostamento X₂ non passa più per G: gliela devo aggiungere io.
Ora X₂ attraversa G, che prima non attraversava. Con 1/G davanti l'effetto si annulla: (X₂/G)·G = X₂.
Dopo il blocco il segnale vale X·G. Per riavere X sul ramo derivato lo divido per G: (X·G)/G = X.
Prima del blocco il segnale vale solo X. Per riavere Y = X·G sul ramo derivato, anche lui deve passare per G.
Vale la stessa regola con il prodotto dei blocchi superati. Un sommatore che va a valle di G₁ e G₂ in serie prende G₁G₂; una derivazione che va a valle degli stessi blocchi prende 1/(G₁G₂).
Due sommatori uno dopo l'altro, senza blocchi in mezzo, si possono scambiare o fondere in un unico sommatore con tre ingressi, conservando i segni: (A + B) − C = (A − C) + B.
Due nodi di derivazione consecutivi, senza blocchi in mezzo, si possono scambiare: copiano lo stesso segnale, quindi l'ordine non conta.
Un sommatore e un nodo di derivazione vicini non si possono invertire liberamente: prima della somma e dopo la somma il segnale è diverso.
Scegli quale blocco va aggiunto sul ramo laterale. Rispondi di getto, senza guardare la tabella: è così che la regola si fissa.
Ripassa con il dito ogni anello. Se un anello ha il suo sommatore dentro l'altro ma il suo nodo di derivazione fuori, sono intrecciati: serve uno spostamento.
Dieci esercizi in ordine di difficoltà. Prova da solo, apri il suggerimento solo se sei bloccato e guarda la soluzione solo alla fine.
Trova la funzione di trasferimento W(s) = Y(s)/R(s).
Blocchi uno dopo l'altro, senza nodi in mezzo: quale regola?
Regola della serie: si moltiplicano le tre funzioni.
W = 2 · 3s + 1 · 1s = 6s(s + 1) = 6s² + s
Trova W(s). Attenzione al segno sul sommatore.
Parallelo: si sommano, ma il ramo di sotto entra con il segno −. Poi fai il minimo comune denominatore.
W = 4 − 1s + 2 = 4(s + 2) − 1s + 2 = 4s + 7s + 2
Trova W(s) e semplifica la frazione.
W = G / (1 + G). Per togliere le frazioni dentro le frazioni, moltiplica sopra e sotto per (s + 1).
W = 10/(s+1)1 + 10/(s+1) = 10s + 1 + 10 = 10s + 11
Trova W(s) in funzione del parametro K.
Il giro dell'anello è G·H = 2K/s. Poi moltiplica sopra e sotto per s.
W = K/s1 + 2K/s = Ks + 2K
Questa volta il segno della retroazione sul sommatore è +. Trova W(s).
Con la retroazione positiva il denominatore diventa 1 − G·H.
W = 2/(s+3)1 − 2/(s+3) = 2s + 3 − 2 = 2s + 1
Trova W(s) prima in forma simbolica, poi con i valori numerici.
Valori: G₁ = 10, G₂ = 1/(s+1), H₂ = 2
Dall'interno verso l'esterno: prima l'anello con G₂ e H₂, poi la serie con G₁, infine l'anello esterno unitario.
Passo 1, anello interno: W₂ = G₂ / (1 + G₂H₂)
Passo 2, serie con G₁: andata = G₁·W₂
Passo 3, anello esterno unitario:
W = G₁W₂1 + G₁W₂ = G₁G₂1 + G₂H₂ + G₁G₂
Con i numeri: G₁G₂ = 10/(s+1) e G₂H₂ = 2/(s+1). Moltiplicando sopra e sotto per (s+1):
W = 10s + 1 + 2 + 10 = 10s + 13
Trova W(s) in forma simbolica e poi con i valori numerici.
Valori: G₁ = 1/s, G₂ = 2, H = 1
Prima riduci il parallelo a un solo blocco, poi applica la regola dell'anello.
Passo 1, parallelo: Gₚ = G₁ + G₂
W = G₁ + G₂1 + (G₁ + G₂)·H
Con i numeri: Gₚ = 1/s + 2 = (2s + 1)/s
W = (2s + 1)/s1 + (2s + 1)/s = 2s + 13s + 1
Il segnale R entra in due sommatori: Σ₁ prima di G₁ e Σ₂ dopo G₁. Sposta Σ₂ a monte di G₁ per unire i due sommatori, poi trova W = Y/R.
Sommatore spostato indietro, a monte di G₁: sul ramo che entra nel sommatore aggiungi 1/G₁. Poi i due sommatori sono vicini e si fondono in uno solo.
Passo 1, spostamento: Σ₂ va a monte di G₁, quindi il ramo superiore porta R passando per 1/G₁.
Passo 2, i sommatori ora sono vicini: si fondono. Prima del blocco G₁ arriva R + R/G₁ − Y = R·(1 + 1/G₁) − Y. In pratica, R passa per un blocco equivalente (1 + 1/G₁) fuori dall'anello.
Passo 3, anello: andata G₁G₂, retroazione unitaria: G₁G₂ / (1 + G₁G₂).
W = G₁ + 1G₁ · G₁G₂1 + G₁G₂ = G₂(1 + G₁)1 + G₁G₂
Verifica veloce: se togli la retroazione, Y = (R·G₁ + R)·G₂ = G₂(1 + G₁)·R. Il numeratore torna.
I due anelli si incrociano: l'anello di H₁ parte dal nodo B, tra G₂ e G₃; l'anello di H₂ arriva al sommatore Σ₂, tra G₁ e G₂. Sposta il nodo di derivazione B per separarli e trova W = Y/R.
Sposta il nodo di derivazione B a valle di G₃, così che entrambi gli anelli partano da Y. Regola DAI: derivazione avanti → sul ramo derivato aggiungi 1/G₃.
Passo 1, spostamento: B va a valle di G₃. Il ramo di H₁ ora parte da Y e passa per 1/G₃, quindi la sua retroazione diventa H₁/G₃.
Passo 2, anello interno (da Σ₂ a Y con H₂): W₂ = G₂G₃ / (1 + G₂G₃H₂)
Passo 3, anello esterno: andata G₁W₂, retroazione H₁/G₃.
W = G₁W₂1 + G₁W₂·H₁/G₃ = G₁G₂G₃1 + G₂G₃H₂ + G₁G₂H₁
Strada alternativa: spostare il sommatore Σ₂ a monte di G₁ (sommatore indietro → 1/G₁ sul ramo di H₂). Il risultato è lo stesso: provalo come verifica.
Sul sistema agisce anche un disturbo D. Trova Y in funzione di R e di D usando la sovrapposizione degli effetti.
Calcola due volte: una con D = 0 (solo R), una con R = 0 (solo D). Nel secondo caso l'andata da D a Y è solo G₂, ma il giro dell'anello resta lo stesso.
Solo R (D = 0): W_R = G₁G₂ / (1 + G₁G₂)
Solo D (R = 0): andata G₂, giro G₁G₂, quindi W_D = G₂ / (1 + G₁G₂)
Y = G₁G₂1 + G₁G₂·R + G₂1 + G₁G₂·D
Osserva: più G₁ è grande, più l'effetto del disturbo si riduce. È il motivo per cui si usa la retroazione.