La trasformata di Laplace

Uno strumento che trasforma le equazioni differenziali, difficili, in equazioni algebriche, che si risolvono con le quattro operazioni. È il linguaggio con cui si descrivono i sistemi dinamici e si disegnano gli schemi a blocchi.

Nel tempo si deriva, in s si moltiplica.

A cosa serve: la strada più corta

Un sistema dinamico, come un circuito RC, un motore o un serbatoio, è descritto da un'equazione differenziale: l'uscita dipende dalle sue derivate. Risolverla direttamente nel tempo è faticoso.

La trasformata di Laplace fa un giro più lungo ma molto più facile: porta il problema dal dominio del tempo $t$ al dominio della variabile complessa $s$ , dove le derivate diventano moltiplicazioni. Si risolve con l'algebra e poi si torna indietro.

Dominio del tempo

Problema

RC \frac{d v}{d t} + v = v_{i} (t)

strada difficile →

Soluzione

v (t)

↓

L

trasformo

↑

L^{- 1}

antitrasformo

Problema in s

RC s V (s) + V (s) = V_{i} (s)

algebra →

Soluzione in s

V (s) = \frac{V _{i} ( s )}{1 + s RC}

Dominio di s

Come i logaritmi

Con i logaritmi una moltiplicazione diventa una somma: $lo g (a \cdot b) = lo g a + lo g b$ . Con Laplace una derivata diventa una moltiplicazione per $s$ . In entrambi i casi si cambia "mondo" per fare un conto facile, e poi si torna indietro.

Equazioni differenziali

Diventano equazioni algebriche, e le condizioni iniziali entrano automaticamente nei conti.

Funzione di trasferimento

Ogni blocco si descrive con una funzione $G (s)$ : in serie si moltiplicano, come negli schemi a blocchi.

Stabilità

Guardando dove stanno i poli di $G (s)$ si capisce subito se il sistema è stabile, senza risolvere niente.

La definizione

F (s) = L {f (t)} = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t

s = σ + jω

Come si legge

$f (t)$ è il segnale nel tempo, con la lettera minuscola;
$F (s)$ è la sua trasformata, con la lettera maiuscola;
$s$ è una variabile complessa: parte reale $σ$ , parte immaginaria $ω$ ;
si considerano segnali causali: $f (t) = 0$ per $t < 0$ . Il sistema "parte" all'istante $t = 0$ .

Esempio: il gradino unitario

Il gradino $u (t)$ vale $1$ per $t \geq 0$ .

L {u (t)} = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t = [- \frac{e ^{- s t}}{s}]_{0}^{\infty} = 0 - (- \frac{1}{s}) = \frac{1}{s}

(per $σ > 0$ l'esponenziale va a zero all'infinito)

Nella pratica non si integra

La definizione serve a capire da dove vengono le cose. Negli esercizi si usano la tabella delle trasformate notevoli e le proprietà: è come usare le tabelline invece di contare sulle dita.

Le trasformate notevoli

Sono da sapere a memoria. Il disegnino a sinistra mostra la forma del segnale nel tempo: associare forma e formula aiuta a ricordarle.

$f (t)$	$F (s)$	Trucco per ricordarla
$δ (t)$	$1$	Impulso: la trasformata più semplice di tutte
$u (t)$	$\frac{1}{s}$	Gradino: è l'integrale dell'impulso, quindi $1$ diviso $s$
$t u (t)$	$\frac{1}{s ^{2}}$	Rampa: integrale del gradino, un'altra divisione per $s$
$t^{n}$	$\frac{n !}{s ^{n + 1}}$	Potenza: esponente $n$ in alto come fattoriale, $n + 1$ in basso
$e^{- a t}$	$\frac{1}{s + a}$	Esponenziale: il polo sta in $s = - a$
$t e^{- a t}$	$\frac{1}{( s + a ) ^{2}}$	come la rampa, ma con $s$ sostituito da $s + a$
$sin (ω t)$	$\frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}}$	Seno: $ω$ sopra
$cos (ω t)$	$\frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}$	Coseno: $s$ sopra
$e^{- a t} sin (ω t)$	$\frac{ω}{( s + a ) ^{2} + ω ^{2}}$	seno smorzato: come il seno, con $s \to s + a$
$e^{- a t} cos (ω t)$	$\frac{s + a}{( s + a ) ^{2} + ω ^{2}}$	coseno smorzato: come il coseno, con $s \to s + a$

Seno e coseno: chi sta sopra?

Seno → la frequenza $ω$ sopra. Coseno → $s$ sopra. Sotto, per entrambi, sempre $s^{2} + ω^{2}$ .

Le proprietà (regole di calcolo)

Con queste regole e la tabella si trasforma quasi tutto. Per ognuna: la formula, la frase da ricordare e un esempio.

1. Linearità

L {a f (t) + b g (t)} = a F (s) + b G (s)

costanti fuori, somme separate

Es. $L {3 + 2 e^{- t}} = \frac{3}{s} + \frac{2}{s + 1}$

2. Derivata

L {f^{'} (t)} = s F (s) - f (0)

L {f^{''} (t)} = s^{2} F (s) - s f (0) - f^{'} (0)

derivare = moltiplicare per s

Le condizioni iniziali $f (0)$ e $f^{'} (0)$ entrano da sole nei conti. Con condizioni iniziali nulle resta solo $s F (s)$ .

3. Integrale

L {\int_{0}^{t} f (τ) d τ} = \frac{F ( s )}{s}

integrare = dividere per s

Es. la rampa è l'integrale del gradino: $\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} = \frac{1}{s ^{2}}$

4. Ritardo (traslazione nel tempo)

L {f (t - T) u (t - T)} = e^{- s T} F (s)

ritardare di T = moltiplicare per e^−sT

Es. un gradino che parte a $t = 2$ : $L {u (t - 2)} = \frac{e ^{- 2 s}}{s}$

5. Traslazione in s (smorzamento)

L {e^{- a t} f (t)} = F (s + a)

moltiplicare per e^−at = scrivere s+a al posto di s

Es. $L {t} = \frac{1}{s ^{2}} \Rightarrow L {t e^{- 3 t}} = \frac{1}{( s + 3 ) ^{2}}$

6. Moltiplicazione per t

L {t f (t)} = - \frac{d F ( s )}{d s}

moltiplicare per t = derivare in s, cambiando segno

Es. $L {t e^{- a t}} = - \frac{d}{d s} \frac{1}{s + a} = \frac{1}{( s + a ) ^{2}}$

7. Cambio di scala

L {f (a t)} = \frac{1}{a} F (\frac{s}{a})

a > 0

accelerare nel tempo = rallentare in s

Es. da $L {sin t} = \frac{1}{s ^{2} + 1}$ si ritrova $L {sin 3 t} = \frac{3}{s ^{2} + 9}$

8. Convoluzione

L {(f * g) (t)} = F (s) \cdot G (s)

(f * g) (t) = \int_{0}^{t} f (τ) g (t - τ) d τ

l'integrale più difficile diventa un prodotto

È il motivo per cui, negli schemi a blocchi, i blocchi in serie si moltiplicano.

Lo specchietto: cosa diventa ogni operazione

Nel tempo faccio...	In s diventa...
derivo	moltiplico per $s$
integro	divido per $s$
ritardo di $T$	moltiplico per $e^{- s T}$
moltiplico per $e^{- a t}$	sostituisco $s$ con $s + a$
moltiplico per $t$	derivo e cambio segno: $- \frac{d F}{d s}$
faccio la convoluzione	moltiplico: $F (s) G (s)$

I teoremi del valore iniziale e finale

Permettono di sapere come parte e dove arriva l'uscita senza antitrasformare: basta un limite su $F (s)$ .

Teorema del valore iniziale

t \to 0^{+} lim f (t) = s \to \infty lim s F (s)

Dice da che valore parte il segnale subito dopo $t = 0$ .

Teorema del valore finale

t \to \infty lim f (t) = s \to 0 lim s F (s)

Dice dove si assesta il segnale: il valore a regime.

Vale solo se $f (t)$ ha davvero un limite, cioè se tutti i poli di $s F (s)$ hanno parte reale negativa. Per un seno, che oscilla per sempre, non si può usare.

Esempio

$F (s) = \frac{10}{s ( s + 5 )}$ ⇒ $s F (s) = \frac{10}{s + 5}$

f (0^{+}) = s \to \infty lim \frac{10}{s + 5} = 0

f (\infty) = s \to 0 lim \frac{10}{s + 5} = \frac{10}{5} = 2

Infatti antitrasformando si trova $f (t) = 2 (1 - e^{- 5 t})$ : parte da 0 e arriva a 2.

Piccolo s, grande t

Tempo e $s$ vanno al contrario: per $t \to \infty$ (molto tempo dopo) si guarda $s \to 0$ ; per $t \to 0$ (subito) si guarda $s \to \infty$ . E in tutti e due i casi si moltiplica per $s$ prima del limite.

L'antitrasformata: tornare nel tempo

Di solito $F (s)$ è una frazione di polinomi. Per antitrasformarla la si spezza in fratti semplici, cioè in pezzi che si trovano nella tabella. Le radici del denominatore si chiamano poli.

Caso 1 – Poli reali e distinti

F (s) = \frac{s + 5}{( s + 1 ) ( s + 3 )} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 3}

Metodo "copri e sostituisci": per trovare $A$ copri il fattore $(s + 1)$ e metti $s = - 1$ nel resto.

A = \frac{s + 5}{s + 3}_{s = - 1} = \frac{4}{2} = 2

B = \frac{s + 5}{s + 1}_{s = - 3} = \frac{2}{- 2} = - 1

F (s) = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{s + 3}

⟹

f (t) = 2 e^{- t} - e^{- 3 t}

Caso 2 – Polo doppio

F (s) = \frac{2 s + 3}{( s + 1 ) ^{2}} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{( s + 1 ) ^{2}}

$B$ si trova coprendo tutto il quadrato; $A$ derivando quello che resta.

B = (2 s + 3) ∣_{s = - 1} = 1

A = \frac{d}{d s} (2 s + 3)_{s = - 1} = 2

F (s) = \frac{2}{s + 1} + \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}

⟹

f (t) = 2 e^{- t} + t e^{- t}

Caso 3 – Poli complessi coniugati

Non si spezza: si completa il quadrato al denominatore e si cercano seno e coseno smorzati.

F (s) = \frac{s + 2}{s ^{2} + 2 s + 5} = \frac{s + 2}{( s + 1 ) ^{2} + 4} = \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 2 ^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{( s + 1 ) ^{2} + 2 ^{2}}

f (t) = e^{- t} cos (2 t) + \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t)

Ogni polo diventa un pezzo di segnale

Polo reale in $- a$ → esponenziale $e^{- a t}$ . Polo doppio → compare anche $t e^{- a t}$ . Coppia di poli complessi $- a \pm jω$ → oscillazione smorzata $e^{- a t} sin (ω t)$ .

Laplace nella teoria dei sistemi

La funzione di trasferimento

È il rapporto tra la trasformata dell'uscita e quella dell'ingresso, con condizioni iniziali nulle:

G (s) = \frac{Y ( s )}{U ( s )}

⟹

Y (s) = G (s) \cdot U (s)

Descrive il sistema da solo, indipendentemente dall'ingresso. Per sapere come risponde basta moltiplicare per la trasformata dell'ingresso: per esempio, con un gradino $U (s) = \frac{1}{s}$ .

Esempio: il circuito RC

Equazione nel tempo e sua trasformata, con $v (0) = 0$ :

RC \frac{d v}{d t} + v = v_{i} L RC s V + V = V_{i}

G (s) = \frac{V ( s )}{V _{i} ( s )} = \frac{1}{1 + s RC}

Un solo polo, in $s = - \frac{1}{RC}$ : la tensione sale con un esponenziale di costante di tempo $τ = RC$ .

Poli, zeri e stabilità

Zeri: valori di $s$ che annullano il numeratore di $G (s)$ . Poli: valori che annullano il denominatore. I poli decidono la forma della risposta e la stabilità.

Stabile

Tutti i poli hanno parte reale negativa (semipiano sinistro): ogni effetto si spegne nel tempo.

Al limite

Poli semplici sull'asse immaginario (per esempio in $0$ o in $\pm jω$ ): la risposta non esplode ma non si spegne.

Instabile

Almeno un polo con parte reale positiva (semipiano destro), oppure poli multipli sull'asse immaginario: la risposta cresce senza limite.

Prova tu: sposta una coppia di poli

I poli sono in $s = σ \pm jω$ . A destra vedi il modo naturale che producono, $e^{σ t} cos (ω t)$ .

Parte reale σ: −0,5 Parte immaginaria ω: 4,0

Polo a sinistra, sistema tranquillo

Più il polo è a sinistra, più la risposta si spegne in fretta. Più è in alto, più oscilla veloce. Se passa a destra, il sistema scappa.

Metodo: risolvere un'equazione differenziale in 4 passi

Trasforma ogni termine con la tabella e la regola della derivata, inserendo le condizioni iniziali.
Ricava $Y (s)$ con l'algebra: raccogli $Y (s)$ e dividi.
Spezza $Y (s)$ in fratti semplici (o completa il quadrato).
Antitrasforma ogni pezzo con la tabella e controlla con i teoremi del valore iniziale e finale.

Esercizi

Dodici esercizi in ordine di difficoltà: trasformate, antitrasformate, teoremi, equazioni differenziali e sistemi. Prova da solo, apri il suggerimento se sei bloccato, la soluzione solo alla fine.

0 su 12 svolti

Esercizio 1 – Linearità

difficoltà ●○○

Calcola $L {3 + 2 t}$ .

Suggerimento

Trasforma separatamente la costante (un gradino moltiplicato per 3) e la rampa.

Soluzione

L {3 + 2 t} = 3 \cdot \frac{1}{s} + 2 \cdot \frac{1}{s ^{2}} = \frac{3 s + 2}{s ^{2}}

Fatto

Esercizio 2 – Esponenziale

difficoltà ●○○

Calcola $L {5 e^{- 2 t}}$ e indica dove sta il polo.

Suggerimento

Usa la riga $e^{- a t} \to \frac{1}{s + a}$ con $a = 2$ .

Soluzione

L {5 e^{- 2 t}} = \frac{5}{s + 2}

polo in s = - 2

Fatto

Esercizio 3 – Seno smorzato

difficoltà ●○○

Calcola $L {e^{- 3 t} sin (4 t)}$ .

Suggerimento

Trasforma $sin (4 t)$ , poi applica la traslazione in $s$ : al posto di $s$ scrivi $s + 3$ .

Soluzione

L {sin 4 t} = \frac{4}{s ^{2} + 16}

⟹

L {e^{- 3 t} sin 4 t} = \frac{4}{( s + 3 ) ^{2} + 16}

Fatto

Esercizio 4 – Ritardo

difficoltà ●○○

Un interruttore si chiude a $t = 2 s$ e applica una tensione costante di $12 V$ . Scrivi il segnale e la sua trasformata.

Suggerimento

È un gradino di ampiezza 12 ritardato di 2: $12 u (t - 2)$ .

Soluzione

v (t) = 12 u (t - 2)

⟹

V (s) = \frac{12 e ^{- 2 s}}{s}

Fatto

Esercizio 5 – Antitrasformata, poli distinti

difficoltà ●●○

Antitrasforma $F (s) = \frac{1}{s ( s + 2 )}$ .

Suggerimento

Scrivi $\frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2}$ e usa "copri e sostituisci" con $s = 0$ e $s = - 2$ .

Soluzione

A = \frac{1}{s + 2}_{s = 0} = \frac{1}{2}

B = \frac{1}{s}_{s = - 2} = - \frac{1}{2}

f (t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 t} = \frac{1}{2} (1 - e^{- 2 t})

Fatto

Esercizio 6 – Antitrasformata con due poli

difficoltà ●●○

Antitrasforma $F (s) = \frac{s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )}$ .

Suggerimento

Poli in $- 1$ e $- 2$ : copri un fattore alla volta.

Soluzione

A = \frac{s + 3}{s + 2}_{s = - 1} = \frac{2}{1} = 2

B = \frac{s + 3}{s + 1}_{s = - 2} = \frac{1}{- 1} = - 1

f (t) = 2 e^{- t} - e^{- 2 t}

Fatto

Esercizio 7 – Poli complessi

difficoltà ●●○

Antitrasforma $F (s) = \frac{s + 4}{s ^{2} + 4 s + 13}$ .

Suggerimento

Completa il quadrato: $s^{2} + 4 s + 13 = (s + 2)^{2} + 9$ . Poi scrivi il numeratore come $(s + 2) + 2$ .

Soluzione

F (s) = \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 3 ^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{( s + 2 ) ^{2} + 3 ^{2}}

f (t) = e^{- 2 t} cos (3 t) + \frac{2}{3} e^{- 2 t} sin (3 t)

Fatto

Esercizio 8 – Valore iniziale e finale

difficoltà ●●○

Senza antitrasformare, trova valore iniziale e finale di $f (t)$ se $F (s) = \frac{8 ( s + 1 )}{s ( s + 4 )}$ .

Suggerimento

Calcola prima $s F (s)$ , poi i due limiti. I poli di $s F (s)$ sono a sinistra? Allora il valore finale si può usare.

Soluzione

s F (s) = \frac{8 ( s + 1 )}{s + 4}

f (0^{+}) = s \to \infty lim \frac{8 ( s + 1 )}{s + 4} = 8

f (\infty) = s \to 0 lim \frac{8 ( s + 1 )}{s + 4} = \frac{8}{4} = 2

Il polo di $s F (s)$ è in $- 4$ , a sinistra: il teorema del valore finale vale.

Fatto

Esercizio 9 – Equazione del primo ordine

difficoltà ●●○

Risolvi $y^{'} (t) + 3 y (t) = 6$ per $t \geq 0$ , con $y (0) = 0$ .

Suggerimento

La costante 6 per $t \geq 0$ è un gradino: diventa $\frac{6}{s}$ . La derivata diventa $s Y (s) - y (0)$ .

Soluzione

s Y + 3 Y = \frac{6}{s}

⟹

Y (s) = \frac{6}{s ( s + 3 )} = \frac{2}{s} - \frac{2}{s + 3}

y (t) = 2 (1 - e^{- 3 t})

Verifica: valore finale $lim_{s \to 0} s Y (s) = \frac{6}{3} = 2$ . Torna.

Fatto

Esercizio 10 – Equazione del secondo ordine

difficoltà ●●●

Risolvi $y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0$ con $y (0) = 1$ e $y^{'} (0) = 0$ .

Suggerimento

Usa la regola della derivata seconda: $s^{2} Y - s y (0) - y^{'} (0)$ . Le condizioni iniziali finiscono al numeratore.

Soluzione

(s^{2} Y - s) + 3 (s Y - 1) + 2 Y = 0

Y (s) (s^{2} + 3 s + 2) = s + 3

⟹

Y (s) = \frac{s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )}

È la stessa frazione dell'esercizio 6, quindi:

y (t) = 2 e^{- t} - e^{- 2 t}

Verifica: $y (0) = 2 - 1 = 1$ ✓ e $y^{'} (0) = - 2 + 2 = 0$ ✓

Fatto

Esercizio 11 – Il circuito RC al gradino

difficoltà ●●●

Un circuito RC con $R = 10 k Ω$ e $C = 50 μ F$ è scarico. All'istante $t = 0$ si applica un gradino di $10 V$ . Trova $v_{C} (t)$ e il valore a regime.

Suggerimento

Calcola $RC$ , scrivi $V_{C} (s) = G (s) \cdot \frac{10}{s}$ con $G (s) = \frac{1}{1 + s RC}$ , poi fratti semplici.

Soluzione

RC = 10 \cdot 1 0^{3} \cdot 50 \cdot 1 0^{- 6} = 0, 5 s

V_{C} (s) = \frac{1}{1 + 0 , 5 s} \cdot \frac{10}{s} = \frac{20}{s ( s + 2 )} = \frac{10}{s} - \frac{10}{s + 2}

v_{C} (t) = 10 (1 - e^{- 2 t}) V

v_{C} (\infty) = 10 V

Dopo circa $5 τ = 2, 5 s$ il condensatore è praticamente carico.

Fatto

Esercizio 12 – Stabile o no?

difficoltà ●●○

Trova i poli e classifica ogni sistema come stabile, al limite o instabile.

G_{1} (s) = \frac{5}{( s + 2 ) ( s + 4 )}

G_{2} (s) = \frac{3}{s ( s + 1 )}

G_{3} (s) = \frac{1}{( s + 1 ) ( s - 3 )}

G_{4} (s) = \frac{2}{s ^{2} + 4}

Suggerimento

Guarda solo il denominatore: dove si annulla? Poi controlla il segno della parte reale di ogni polo.

Soluzione

$G_{1}$ : poli $- 2$ e $- 4$ , tutti a sinistra → stabile.

$G_{2}$ : poli $0$ e $- 1$ ; il polo semplice in $0$ è sull'asse immaginario → al limite (al gradino l'uscita cresce come una rampa).

$G_{3}$ : poli $- 1$ e $+ 3$ ; il polo in $+ 3$ è a destra → instabile.

$G_{4}$ : poli $\pm 2 j$ , sull'asse immaginario → al limite: oscilla per sempre con $ω = 2 rad/s$ .

Fatto

Formulario da stampare

Definizione

F (s) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t

Gradino, rampa

u (t) \to \frac{1}{s} t \to \frac{1}{s ^{2}} t^{n} \to \frac{n !}{s ^{n + 1}}

Esponenziali

e^{- a t} \to \frac{1}{s + a} t e^{- a t} \to \frac{1}{( s + a ) ^{2}}

Seno e coseno

sin ω t \to \frac{ω}{s ^{2} + ω ^{2}} cos ω t \to \frac{s}{s ^{2} + ω ^{2}}

Derivate

f^{'} \to s F - f (0) f^{''} \to s^{2} F - s f (0) - f^{'} (0)

Integrale e ritardo

\int_{0}^{t} f d τ \to \frac{F}{s} f (t - T) u (t - T) \to e^{- s T} F

Traslazione in s

e^{- a t} f (t) \to F (s + a)

Valore iniziale e finale

f (0^{+}) = s \to \infty lim s F (s) f (\infty) = s \to 0 lim s F (s)

Funzione di trasferimento

G (s) = \frac{Y ( s )}{U ( s )} Y (s) = G (s) U (s)

Stabilitàtutti i poli con

Re (p) < 0